חיבור שברים עם מכנים שונים הוא הנושא שבו הכי קל לטעות בלי להרגיש. תלמיד כותב שחצי ועוד שליש הם שתי חמישיות, מסמן וי לעצמו וממשיך לתרגיל הבא. תשובה אחת כזאת יכולה לצמוח משני מקומות שונים לגמרי, ולכל אחד מהם מתאים תיקון אחר. להלן מבדק של שש שאלות שמפריד ביניהם, ושני מסלולי תיקון שאפשר להריץ במקביל באותה כיתה.
שש שאלות שמפרידות בין שגיאת ייצוג לשגיאת אלגוריתם
המבדק לוקח עשר דקות ונכנס בדף אחד. הוא לא נועד לתת ציון אלא לראות איך התלמיד חושב, ולכן כדאי לבקש ממנו לכתוב ליד כל תשובה משפט הסבר קצר או ציור.
- חצי ועוד שליש: כמה זה?
- בלי לחשב: האם חצי ועוד שליש גדול מחצי או קטן ממנו? סמנו את שני המספרים על ישר מספרים.
- שתי חמישיות ועוד חמישית: כמה זה?
- השלימו: חצי שווה כמה שישיות, ושליש שווה כמה שישיות?
- ציירו שני מלבנים זהים, צבעו באחד רבע ובשני חצי, ורשמו כמה צבעתם בסך הכול.
- שלושה רבעים ועוד שני שלישים: כמה זה, והאם התוצאה גדולה מאחד?
תלמיד שענה שתי חמישיות בשאלה הראשונה ונתקע בשנייה שייך לקבוצה הראשונה. הוא רואה בשבר שני מספרים נפרדים, מונה ומכנה, ולא כמות שיש לה מקום על הישר. תלמיד שפתר נכון את השאלה השלישית והרביעית ונפל בשישית יודע מה השבר אומר, ואיבד את סדר הצעדים. ומי שנכשל כבר ברביעית עוד לא בנה שקילות, ואת העבודה איתו כדאי להתחיל ברצף השיעורים על שברים שקולים, לפני כל חיבור.
בשאלה השישית חוזרות שלוש תשובות. מי שמחבר מונים ומכנים כותב חמישה שביעיות. מי שמצא מכנה משותף ושכח להרחיב את המונים כותב חמש שתים עשריות. ומי שפתר נכון וכתב שבעה עשר חלקי שתים עשרה עצר שם, ולא יודע אם התשובה גדולה מאחד. שלושת הדפים האלה נראים שונים לגמרי זה מזה, גם כשכולם סומנו באותו עט אדום.
את המבדק כדאי להריץ בכיתה ה, כשהנושא מגיע לפי הספר. בתוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה ה כתוב ש"ניתן להביא כל שני שברים לאותו מכנה, למכנה משותף, ואז ניתן לחברם". המשפט הזה מניח שהתלמיד כבר מבין מה הוא מחבר, וזה בדיוק מה שהשאלות 1 עד 3 בודקות. לפי עמוד התוכנית במרחב הפדגוגי, החלפת התוכנית במתמטיקה מתקדמת שנה אחר שנה, ובשנה הזאת כיתה ג מצטרפת לתוכנית החדשה. כיתות ד עד ו ממשיכות בינתיים עם התוכנית הישנה.
חצי ועוד שליש הם שתי חמישיות: למה התלמיד משוכנע שהוא צודק
הטעות הזאת עקבית, ולכן היא קשה לעקירה. התלמיד מחבר מונים, מחבר מכנים, וזה מרגיש לו טבעי כי ככה סופרים פרוסות. אצל מספרים שלמים כל חיבור עובד כך, ושום דבר בכלל הזה לא הזהיר אותו שלשברים יש חוקים אחרים.
בדיקה בעל פה לוקחת עשר שניות: שתי חמישיות, זה יותר מחצי או פחות? התלמיד שמסתכל על התשובה שלו ועל המחובר הראשון רואה שחיבר ונשאר עם פחות. לא כולם מזהים את זה מיד, והרגע שבו זה קורה הוא כבר ההתחלה של התיקון.
במדריך על הוראת השברים מכיתה ד ועד ו כתבנו שזו שגיאת ייצוג ולא שגיאת חישוב. כאן נעסוק בצד המעשי: איך לוודא את זה אצל תלמיד מסוים, ומה עושים אחר כך.
מסלול א: חוזרים לישר המספרים לפני שנוגעים במכנה
התלמידים שענו שתי חמישיות צריכים חוויה שבה התשובה שלהם נשברת מול העיניים. הדרך הזולה ביותר היא פס נייר באורך שתים עשרה משבצות במחברת. מקפלים את הפס לשניים וגוזרים חצי, שש משבצות. מקפלים לשלושה ומקבלים שליש, ארבע משבצות. מניחים אותם זה אחר זה ורואים שהם מכסים עשר משבצות מתוך שתים עשרה.
פס עדיף כאן על עיגול ועל פיצה. קשה לחלק עיגול לשלישים בדיוק ביד, וקשה להשוות בו אורכים. פס במחברת משבצות מתקפל בדיוק, ומתחבר ישר לישר המספרים שהכיתה כבר מכירה. מי שממשיך להשתמש בפיצה מחזיר את התלמידים אל המודל שהכשיל אותם מלכתחילה.
אז שואלים איזה שבר זה. התלמיד שהיה בטוח בשתי חמישיות נאלץ לומר חמש שישיות, או לפחות עשר שתים עשריות, וגם להסביר למה. מי שעושה את זה בידיים כבר לא צריך שנשכנע אותו שהשיטה הקודמת שגויה.
שלוש פגישות של עשרים דקות מספיקות בדרך כלל לשתי צורות: חצי עם שליש, ואחר כך רבע עם שליש. בפגישה השלישית התלמיד בוחר זוג בעצמו, מנחש לפני שהוא מניח את הפסים, ובודק.
מסלול ב: מי שהבין את הרעיון צריך כרטיס צעדים, לא הסבר שני
לתלמידים שפתרו נכון את שאלות 2 עד 5 ונפלו בשאלה 6 אין בעיה בהבנה. הם מאבדים את המסלול באמצע, בדרך כלל כשהתוצאה עוברת את האחד והם צריכים להפוך אותה למספר מעורב. הכרטיס שנכנס לכיס הקלסר כולל חמישה צעדים קצרים: מוצאים מכנה שבו נכנסים שני המכנים, מרחיבים כל שבר, מחברים את המונים, בודקים מול ההערכה מהישר, ומצמצמים או הופכים למספר מעורב אם צריך.
כאן יש עמדה שאפשר לחלוק עליה: עדיף ללמד מכנה משותף קטן ולא להסתפק בהכפלת שני המכנים. הכפלת המכנים עובדת תמיד, אבל 3/4 ועוד 5/12 הופכים אצל מי שמכפיל ל-56/48, ואצל מי שמחפש מכנה קטן ל-14/12. בשני המקרים מגיעים לאותו מקום, אבל התלמיד השני עבד עם מספרים שאפשר להחזיק בראש, ויש לו פחות מקום לטעות בצמצום.
שישה תרגילים ממוקדים עם בדיקה עצמית מתאימים לכרטיס הזה יותר מדף של שלושים תרגילים. שלושה זוגות שבהם מכנה אחד נכנס בשני, כמו רבע וחצי, ושלושה שבהם אין קשר כזה, כמו שליש וחמישית. כך התלמיד פוגש את שני המצבים ולא מנחש לפי מה שהדף מצפה.
איך מנהלים שני מסלולים בכיתה של שלושים ושניים תלמידים
אחרי המבדק ממיינים את הדפים לשלוש ערימות: ייצוג, צעדים, ושקילות. בכיתה של שלושים ומשהו תלמידים כל ערימה תהיה בגודל אחר, ובדרך כלל הערימה של הצעדים גדולה מהצפוי. אם בית הספר מקיים מבחן מיפוי בתחילת השנה, אפשר להצליב אותו עם הדפים ולדעת מי צריך את המבדק המלא ומי לא.
שיעור המליאה הוא שאלה 2 בגדול: חצי ועוד שליש, גדול מחצי או קטן ממנו? זו שאלת הערכה שכל הכיתה יכולה לענות עליה בלי לדעת שום אלגוריתם, והיא פותחת את הדיון לכולם. אחר כך הכיתה מתפצלת. קבוצת הייצוג עובדת עם פסי הנייר ועם המורה, והשאר עובדים בזוגות עם כרטיס הצעדים ובודקים זה את התשובות של זה.
את השעה הפרטנית כדאי להקדיש לקבוצת הייצוג, כי היא זו שמתקדמת לאט ונהנית מקשר עין. תלמידים שנמצאו זכאים להתאמות בוועדת זכאות ואפיון יכולים להמשיך להשתמש בפסים ובכרטיס גם במבחן, בתנאי שבשיעורים הם משתמשים בהם כדי להבין ולא כדי לדלג על ההבנה.
כדאי להעריך את ההתקדמות מול התלמיד עצמו ולא מול הכיתה. מי שעבר מערימת הייצוג לערימת הצעדים התקדם, גם אם הציון בדף עדיין נמוך. אין סיבה להקריא את שמות הערימות בכיתה או לתת להן שמות בפני התלמידים, כי לילד בן עשר ערימה שנקראת ייצוג היא עוד תווית.
מתי מציגים את המכנה המשותף
רק אחרי שהתלמיד פגש את הסתירה. כל עוד הוא לא ראה שהסכום קטן מהמחובר הראשון, המכנה המשותף נראה לו טקס שהמורה דורשת. אחרי שראה, הוא פתרון לבעיה שהוא כבר מכיר.
בשנה הבאה התלמיד יפגוש שברים במבחן התנופה לכיתה ו, שהם נושא חובה בו. התלמיד שעבר את המסלול הנכון יודע לבדוק את עצמו. הוא מעריך לפני שהוא מחשב ויודע לזהות תשובה שלא יכולה להיות נכונה. כעבור שלושה שבועות כדאי לחזור על שאלות 1, 2 ו-6 ולהשוות. אם בשאלה 2 עדיין אין תשובה בלי חישוב, חוזרים למסלול א.