גרפים מטעים הם חומר גלם זול ויעיל לשיעור מתמטיקה בחטיבה: הם לא דורשים ציוד, לא דורשים שעות הכנה, ויש בהם משהו שמעורר גם תלמידים שבדרך כלל מוותרים כשמופיעים מספרים. התרגיל שמתואר כאן אורך עשר דקות ומתאים לשגרה של פעם בשבועיים, כמו זו שהוצעה במדריך להוראת מתמטיקה בחטיבת הביניים, שם נאמר במשפט אחד מה עושים ולא נאמר איך.
העמדה שמובילה את המאמר פשוטה: עדיף ללמד שלוש שאלות קבועות על פני רשימה של שש הטעיות. הרשימה נכנסת, אבל בסוף.
רשימת התעלולים מלמדת לזהות ולא לחשוד
אפשר לפתוח במצגת של שישה גרפים מוכרים ולהסביר מה עשו בכל אחד. התלמידים מבינים, מהנהנים, ובשבוע שאחרי הם מזהים בדיוק את שש ההטעיות שלימדו אותם. הגרף הבא מטעה בדרך שאין עליה שורה במחברת, והם מקבלים אותו כמו שהוא.
לכן הקטלוג שייך לסוף התהליך. קודם התלמידים לומדים שלוש שאלות שנשאלות על כל גרף, ורק אחר כך מקבלים דוגמאות שבהן השאלות מוצאות משהו. כך הרשימה נשארת דוגמאות, וההרגל הוא התוכן.
המפרט של מבחן תנופה למחר לכיתה ט׳, שראמ״ה פרסמה לשנת תשפ״ו, מגדיר את מטרתו המרכזית כהערכת אוריינות המידע הדיגיטלית בשלושה ממדים: איתור והערכת מידע, ארגון ועיבוד מידע, וייצוג והצגת מידע. גרף שנבנה כדי להטעות נוגע בשלושתם בבת אחת, כי מי שקורא אותו צריך להעריך את מי שהציג, לארגן מחדש את הנתונים ולייצג אותם כמו שצריך. זה נימוק טוב להקדיש לנושא עשר דקות כבר בכיתה ז או ח, הרבה לפני כיתה ט.
שלוש שאלות שנשאלות על גרף, בלי יוצא מן הכלל
השאלות קצרות מספיק כדי להישאר בראש, והן חוזרות בכל מפגש עד שהתלמידים שואלים אותן לבד.
על מה מדברים הצירים?
התלמידים קוראים את שני הצירים בקול: מה נמדד, באילו יחידות, ומאיפה הציר מתחיל. השאלה הזאת תופסת את הציר הקטוע, את הסקאלה הלא אחידה ואת הבלבול בין מספר לשיעור, שלוש מתוך שש ההטעיות.
מי אסף את הנתונים, ולשם מה?
מי שמצייר גרף כמעט תמיד רוצה משהו, גם כשהוא לא מתכוון להטעות. גרף שהכינה הנהלת בית ספר לקראת יום פתוח נראה אחרת מגרף שהכינו התלמידים בעצמם. השאלה הזאת מחברת את התרגיל למה שמתרגלים גם בשאלת חקר מדעית, שבה התלמיד לומד לשאול מאיפה בא המספר לפני שהוא מתייחס אליו.
מה נשאר מחוץ לתמונה?
טווח הזמן שנבחר, ההשוואה שלא צורפה, המספר המוחלט שחסר ליד האחוז. התלמידים צריכים להעלות לפחות דבר אחד שהגרף לא מראה.
ציר קטוע אינו תמיד הטעיה
יש גרפים שבהם ציר שמתחיל ממספר גבוה הוא ההחלטה הנכונה. גרף של טמפרטורת הגוף או של שינויי מחיר קטנים לא יראה דבר אם יתחיל באפס, כי כל ההבדלים נמצאים בטווח צר. תלמידים שלמדו שציר קטוע הוא תעלול נוטים לפסול גם את הגרפים האלה, ולכן השאלה הנכונה אינה אם הציר מתחיל באפס אלא אם הקורא יודע שהוא לא מתחיל שם.
כאן נכנסת השאלה השלישית. ציר קטוע שמסומן בבירור, עם סימן שבירה או הערה, הוא בחירה גרפית לגיטימית. אותו ציר בלי סימון הוא מלכודת.
שש דרכים להטעות, ומה כל אחת עושה לעין
אחרי ששלוש השאלות מוכרות מוסיפים דוגמאות. כדאי לבנות אותן מנתוני הכיתה עצמה, כך שהמורה שולטת בסקאלה ויכולה לצייר את אותו גרף פעמיים.
ציר שאינו מתחיל באפס
נניח ששני עמודים מציגים 41 ו-43 תלמידים שהגיעו ברגל לבית הספר, והציר מתחיל ב-40. העמוד השני נראה פי שלושה מהראשון, אף שההבדל הוא שני תלמידים. אותם נתונים על ציר שמתחיל באפס נראים כמעט שווים.
סקאלה לא אחידה
ציר שבו המרווח בין 0 ל-10 שווה למרווח בין 10 ל-100 דוחס את הערכים הגדולים ומנפח את הקטנים. סרגל על הלוח עושה את העבודה: מודדים את המרחק בין שני סימונים סמוכים, ואז בין שני סימונים אחרים.
עוגה שאינה מסתכמת במאה
שלוש פרוסות שמסומנות 40 אחוז, 35 אחוז ו-35 אחוז מסתכמות ב-110. טעות כזאת מופיעה בסקרים שבהם אפשר לסמן יותר מתשובה אחת, כשהגרף לא מציין את זה.
עמוד או עוגה בתלת ממד
פרוסה שקרובה לקורא נראית גדולה מזו שמאחוריה, גם כשהנתון שלה קטן יותר. מבקשים מהתלמידים לצייר את אותו גרף בדו ממד ולהשוות בין שני הציורים.
טווח זמן שנבחר בקפידה
שלושה חודשים שבהם המדד עלה, בתוך שנה שבה הוא ירד. נותנים לתלמידים נתוני שנה שלמה ומבקשים מהם למצוא שלושה חודשים רצופים שמספרים את הסיפור ההפוך. משימה כזאת מראה להם כמה קל לברור.
מספר מוחלט מול שיעור
בכיתה א נעדרו 12 תלמידים ובכיתה ב נעדרו 15. אם בכיתה א לומדים 20 ובכיתה ב לומדים 40, אז בכיתה א נעדרו שישה מכל עשרה ובכיתה ב קצת יותר משלושה. העמודים מצביעים לכיוון אחד והשיעורים לכיוון ההפוך.
עשר דקות שמתחלקות לארבעה חלקים
המבנה מתאים לתחילת שיעור או לסופו, והוא עובד בכיתה של שלושים ומשהו תלמידים בלי ציוד מיוחד.
בשתי הדקות הראשונות הגרף מוצג על הלוח בלי כותרת ובלי מקור. התלמידים כותבים בדף מה הם רואים ומה הם מסיקים.
בשלוש הדקות הבאות מוסיפים את הכותרת והמקור, והזוגות עונים על שלוש השאלות.
זוג אחד מציג מה מצא, והמורה מציירת על חצי לוח את אותו גרף מחדש, עם ציר מאפס או עם טווח זמן מלא. זה לוקח שלוש דקות.
בשתי הדקות האחרונות כל זוג כותב משפט אחד: מה היה משתנה במסקנה אילו הגרף היה מצויר כך מההתחלה.
בשבועות הראשונים כדאי להישאר עם הגרף ההוא עד שהשאלות נשמעות מהכיתה ולא מהמורה. רק כשהתלמידים פותחים את הדקה השלישית בשאלה על המקור, בלי שביקשו מהם, אפשר להחליף לסוג הטעיה אחר. הקצב נקבע לפי הכיתה ולא לפי המצגת, וכיתה אחת תגיע לתלת ממד בשבוע השלישי בזמן שאחרת עדיין תתעכב על הציר.
דוגמאות מהכיתה ומהלמ״ס ולא ממסך החדשות
גרף מכתבה חדשותית מכניס לכיתה את הוויכוח שמקיף אותו. התלמידים מפסיקים לדבר על הציר ועוברים לדבר על מי צודק, והשיעור נגמר לפני שהגיע לשאלה הראשונה. עדיף נתונים שאין סביבם מחלוקת: נוכחות בשבוע מסוים, זמני הנסיעה לבית הספר, תוצאות משחק כדורסל של השכבה.
מקור שאפשר להישען עליו הוא הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה. בעמוד הפעלות לבתי הספר העל יסודיים שלה מופיעות הצעות לפעילות לפי מקצועות הלימוד, הסקרים המרכזיים של הלמ״ס כבסיס לפעילות בכיתה, והפניה למחוללי הלוחות באתר, שמהם אפשר להפיק טבלה ולבנות ממנה גרף. כשהמורה בונה את הגרף בעצמה היא קובעת מראש איזו הטעיה תהיה בו, וכך שולטת בשיעור.
משימת ההערכה: התלמיד בונה גרף מטעה ומסביר את התרגיל
בסוף החודש מבקשים מהתלמידים לבנות שני גרפים מאותה טבלת נתונים של הכיתה, אחד ישר ואחד מטעה. מתחת לגרף המטעה הם כותבים באיזו הטעיה השתמשו ואיזו שאלה מבין השלוש הייתה חושפת אותה.
המחוון בן שלוש רמות ונבדק בשתי דקות לעבודה. ברמה הגבוהה הגרף המטעה באמת מטעה, ההסבר מזהה את הטכניקה ללא טעות, והגרף הישר באמת ישר. ברמה הבינונית אחד משלושת הרכיבים חסר. ברמה הנמוכה הגרף המטעה הוא פשוט גרף שגוי.
בניית הטעיה מלמדת יותר מזיהוי שלה, כי היא מחייבת להבין מה העין קוראת ראשון בגרף. זו העמדה, והיא נבחנת בכיתה לפני שהיא נתפסת כנכונה. אם התלמידים בונים הטעיות שרק הם עצמם מצליחים לפענח, כדאי לחזור לשלוש השאלות ולתרגל אותן שוב.